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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
d) $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$
d) $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$
Respuesta
Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊
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1) El dominio de la función es $\mathbb{R}$ (ese denominador nunca es cero!)
2) Calculamos $f'(x)$ y $f''(x)$
Usamos regla del cociente:
\( f'(x) = \frac{(1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \)
Para volver a derivar aplicamos de nuevo regla del cociente:
\( f''(x) = \frac{(1+x^2)^2 \cdot (-2x) - (1-x^2) \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} \)
Lo reacomodamos un poquito:
\( f''(x) = \frac{-2x(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2)}{(1+x^2)^4} \)
3) Igualamos $f''(x)$ a cero para encontrar los puntos de inflexión
$\frac{-2x(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2)}{(1+x^2)^4} = 0$
$-2x(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2) = 0$
Saco factor común $-2x$
$-2x \cdot [ (1+x^2)^2 + 2 (1-x^2)(1+x^2) ] = 0$
Tenemos una multiplicación que nos está dando cero, entonces las soluciones van a salir de igualar los factores a cero, como venimos haciendo en tantos ejercicios. Una solución ya la tenemos, $x = 0$. Las otras quizás salgan de plantear:
$ (1+x^2)^2 + 2 (1-x^2)(1+x^2) = 0$
$ 2 (1-x^2)(1+x^2) = -(1+x^2)^2$
$2 (1-x^2) = -(1+x^2)$
$2 - 2x^2 = -1 - x^2$
$3 = x^2$
$|x| = \sqrt{3}$
Por lo tanto, las soluciones son $x = \sqrt{3}$ y $x = -\sqrt{3}$
4) Dividimos la recta real en intervalos donde $f''(x)$ es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:
a) \( (-\infty, -\sqrt{3}) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia abajo
b) \( (-\sqrt{3}, 0) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia arriba
c) \( (0,\sqrt{3}) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia abajo
c) \( ( \sqrt{3}, +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia arriba.